Понеже постъпиха оплаквания от трудните задачи от учебника по математика за IV клас, ще се върнем на класическите задачи от “занимателната математика”, така добре познати ни от книгите на Мартин Гарднър и американското списание “Scientific American“.
Задача 112. Разлагане на множители.
На какви множители (числата, които го делят без остатък) се разлага числото 1 000 000 000 001? Може да се отговори лесно, ако се случи да знаете нещо за числата от този специален вид. Фактически за мен е еднакво лесно да посоча два множителя, ако между двете единици вмъкнете, да кажем, сто и една нула, вместо единадесет.
Съществува едно любопитно, лесно и красиво правило за тези случаи. Можете ли да го откриете?
Понеже аз вече знам правилото, ще ви оставя да се опитате да го откриете сами :). А ако се забавите повече от три дена с верния отговор, тогава ще се принудя (ако не съм забравил дотогава) да го публикувам аз.
Леко решаване.
Срамота!!! Как може да пускате такава задачка в извън работно време?
Майтап разбира се ;).
Понеже в момента е само 3 без 15 ще драсна само очевидните или очевадните.
Значи:
– Не се дели на 2 и съответно на четни числа;
– Не се дели на 3 и съответно произведенията му;
Не се дели на 5 и съответно на 10;
В момента толкова. Живот и здраве, утре още.
Поздрави Ему
1 000 000 000 001 / 5 = 2.0 × 1011
Моите предположения са 1,2 и 5 🙂
Ужас! Е, сега вече ще ме изгонят от офиса! Оказва се, че 70 % от колегите ми не са много убедени как точно са взели дипломи от УНСС!
Обаче ще продължим да водим неравностойната битка с учебника по математика за 4 клас. 🙂
@Ему
Ами вече е утре и някои хора вече изгарят от нетърпение 🙂
А щом не се дели и на 2, и на 3, това не означава ли, че не се дели на 6? А щом не се дели на 2 и на 6, логично е да не се дели и на 4 и 8. Ама да не излезе, че те подвеждам 🙂
@Нико
1 и 2, и 5 ли са твоите предположения? Защото 1 000 000 000 001 се дели без остатък само на 1.
Ползвах Гугъл за смятане и той ми ги представи като цяло число на степен еди си коя.. после разбрах, че то ва не е цяло число 😉
Prim factorization algoritm link and solution by triel
@NeeAnn тая работа не е за мойта проста глава 🙂 Много ме кефи, обаче, тая категория!
Ами, според мен това е
10^12+1
което е
(10^4+1)(10^8-10^4+1) и натам вече става по-лесно
А за числото със 101 нули между двете единици
Това е
10^102+1=(10^34+1)(10^68-10^34+1) и пак същото 🙂
Номерът е степента на десетката да е кратна на 3, за да може да се използва формулата за а^3 +/- б^3
Признавам си, че само съм чувал за въпросната книга, не съм я чел, там може да има много по-хитро решение 🙂
@Lili
тази задачка не е баш за 4-ти клас, но предните няколко определено бяха от “Математическа читанка” за 4 клас.
По този “учебник” се подготвяше дъщеря ми за кандидатстване в СМГ след 4 клас. /Както ти е известно ;)/
@NeeAnn, за 6, 4, 8 и т.н. четни числа казах, че не го делят, защото то не се дели и на 2. За 6, 9, 18, 21 …, защото не се дели на 3. За 5, 10, 15, 20 …, защото не се дели и на 5.
нико леко ме замисли, дали пък да не става въпрос за двоично число. Ако е така, то сметките стават различни.
А за решението на Васко въобще не ми беше дошло на ум. Дори започнах да се замислям, дали не е някое просто число. Но ако беше просто, то нямаше да има два делителя, защото обикновено 1 не се брои.
Та, @Васко, шапка ти свалям ;).
Поздрави Ему
73, 137, 99990001
Нико вече е paste-нал линк към алгоритъма, по който се решава задачата.
@Васко
Защо не развиеш по-подробно решението си? Не че аз съм човекът, който би го оценил по достойнство, но за останалите читатели също би било интересно (imho). А ако случайно стане много дълго, може да се уреди нещо в категорията “Гости”. Владо Блъсков също да се чувства поканен 🙂
А решението във “въпросната” книга определено е по-различно от твоето (за по-хитро — не знам) и именно това е причината да настоявам за по-подробен отговор от твоя страна. Най-малкото, защото един вид той ще обогати книгата (която пък в един момент ще обявя коя е (hint: неин автор не е Мартин Гарднър))
Хм, като се загледах и замислих, май имам грешка в решението, или тотално съм забравил да смятам със степени.
Трябва да го поразгледам още малко + това ми хрумна една идея за по-лесно разлагане…просто обаче сега съм на работа и ме притискат крайни срокове. Ще се пробвам у нас, и ще пейстна решение, ако имам.
Сори 🙁
Васко, тъжните муцуни са забранени. Очаквам усмихнато решение, когато го имаш 😉
@Васко
Не вярвам някой от нас да се е разбързал чак толкова много, а наоколо има и хора, които се учат на търпение, така че нямаме бърза работа. Когато станеш готов — тогава. А аз ще позабавя с още някой ден публикуването на “оригиналния” отговор.
Така, най-сетне съм готов с нещо като решение/метод по задачката. Не е пълен – демек, обхваща 4 от 6 възможни случая, но за повече нямам сили и търпение – вече казах, че съм нетърпелив 😉
Разгледах възможните степени на десетката по признак деление на 6 – не ме питайте как стигнах до 6 🙂
Значи, имаме 6 възможности за числото, което искаме да разложим:
1. то да е (10^6к)+1
2. то да е (10^6к+1)+1
3. то да е (10^6к+2)+1
4. то да е (10^6к+3)+1
5. то да е (10^6к+4)+1
6. то да е (10^6к+5)+1
В случаи 2, 4 и 6 имаме 10 на нечетна степен + 1. Това означава, че числото е започва с 1-ца, след това има четен брой нули и завършва с 1. На практика, по принципа за делене на 11 (сумата на цифрите на четна позиция минус сумата на цифрите на нечетна позиция да се дели на 11), горното число се дели на 11. Нещо повече, при деленето на тези числа на 11 се получава, че ако числото изглежда примерно така:
1;х нули;1, то при деление на 11 се получава кратно, което изглежда така:
х-2 пъти 90;91 (надявам се, че се изразявам ясно). Без да съм се пробвал, си мисля, че това лесно би могло да се докаже с индукция. С това смятам, че отстрелях трите случая
Сега да се върнем към първия случай – (10^6к)+1. Ако се върнете към горните ми постинги, ще видите, че и това се разлага на ((10^2к+1) по нещо си. Пак ако се вгледаме, ще видим, че това нещо си изглежда така – поредица от няколко деветки, следвани от една по-малко нули и накрая една самотна единица. Отново си мисля, че и това не би трявало да се докаже трудно.
И така… Сега идваме до трудната, поне за мен, част – случаите 3 и 5
За случай 5, когато к е нечетно, тогава единият от множителите на числото е 101. Когато к е четно обаче – нямам отговор 🙁
За случай 3 също имах хипотеза. Ето я:
(10^6к+2)+1=(2*(6к+2)+1)* нещо си. При к=3 обаче, тоест при 10^20+1, хипотезата ми мощно издъхна, аз се отказах и сега пиша това…
Надявам се, бях ясен 🙂
П.С. Чакам решението с двойно нетърпение вече
П.П.С. Хм, и пак Бог да поживи Гугъл и елките, защото ако трябваше всичко това да го смятам на ръка, отдавна да съм се отказал 🙂
@Васко
Хм, явно днес наистина е добър ден за нетърпеливковците или аз съм станал с лицето нагоре, но по-надолу е “оригиналният” отговор, даден от автора на главоблъсканицата:
Надявам се този сравнително подробен отговор да ви е задоволил любопитството (и нетърпението) 🙂
@NeeAnn
Мерси. Вече съм изпълнен с чувство на добре свършена работа. Общо взето, и аз казвам същото, но много по-сложно. Надявах се обаче, че ще има подобен трик и за останалите степени.
@Васко
Няма за какво 🙂
хмм интересна задача, но доста объркващо е зададена. Обикновено като разлагаме се търсят простите множители. Но в този случай като погледнем простите множители на числата от вида 10^k + 1 дори само от к от 1 до 20, се вижда че няма някакви очевидни тенденции (изглеждат почти случайни).
Решението за двата фактора на 10^3k+1 (които не винаги са прости) произтича от следната форума:
а^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
=> 10^3k+1=(10^k+1)(10^2k-10^k+1)
генерализацията за всички числа от вида 10^(2k+1)+1 e следствие на:
а^k+b^k=(a+b)(a^(k-1)-a^(k-2)b+a^(k-3)b^2-a^(k-4)b^3 … -ab^(k-2)+b^(k-1)) (вярно само за к – нечетно)
отново като заместим с а=10 и б=1, получаваме серията 9ки и 0 и тн.