Искрено се надявам, тази задачка да ви поизпоти и да я няма в Google!
Ето я и нея 🙂 :
Номер на автобусен билет се състои от 6 цифри.
Билетът ще наричаме щастлив, ако сумата от първите три цифри на номера му, е равна на сумата от последните му три цифри.
Да се докаже, че сумата от номерата на всички щастливи билети, се дели на 1001.
Време за решаване – до първия верен отговор.
Награда – щастлив билет! 🙂
Готово. Решението е лесно когато веднъж ти светне един детайл. Отне ми общо не повече от 15 минути мислене.
Ще го пусна тук при разрешение от домакинята.
Разбира се, Влади, дори няма нужда да питаш! Пускай го веднага, щом го откриеш, за да вървим напред със задачките ;-).
В такъв клучай, вече знам – за този род задачи ще давам време за решаване до 15 мин.! 🙂
Ето решението. Ако някой има въпроси за нотацията, да пита ;-):
1. Да предположим, че номера на произволен щастлив билет е {abcdef}, където a,b,c,d,e,f са произволни цифри от 0 до 9. Тогава a+b+c = d+e+f, а номерът на билета, изразен като десетично число, ще е N(1) = (100,000a + 10,000b + 1,000c + 100d + 10e + f)
2. [Тук е елементът с досещането] За всеки номер {abcdef} съществува номер {defabc}, който удовлетворява условието за щастлив билет, т.е. d+e+f = a+b+c, за произволни a,b,c,d,e,f. Номерът на билета ще е N(~1) = (100,000d + 10,000e + 1,000f + 100a + 10b + c).
3. Нека намерим сумата N(1) + N(~1)
N(1) + N(~1) =
(100,000a + 10,000b + 1,000c + 100d + 10e + f) + (100,000d + 10,000e + 1,000f + 100a + 10b + c) =
a( 100,000 + 100 ) + b( 10,000 + 10) + c( 1000 + 1 ) + d( 100,000 + 100 ) + e( 10,000 + 10) + f( 1000 + 1 ) =
1001 * ( 100 * a ) + 1001 * ( 10 * b ) + 1001 * c + 1001 * ( 100 * d ) + 1001 * ( 10 * e ) + 1001 * f =
1001 * ( 100a + 10b + c + 100d + 10e + f),
което число очевидно се дели на 1001.
4. Горепосочените три точки са вярни за всяко N(n) и N(~n), т.е. N(n) + N(~n) = 1001 * X(n) !
5. Търсим да докажем, че sum( N(n) + N(~n) ) се дели na 1001, т.е.
sum( N(n) + N(~n) ) = sum( 1001 * X(n) ) = 1001 * sum( X(n) ), което се дели на 1001.
6. Равенството е доказано.
Браво, Влади, обяснението ти е дълго, но пък вярно!
Така, че – ако, някой има въпроси – да пита …..Влади :-);-)