Готови ли сте, нетърпеливковци, за следващата задача? Да? Не? Не ви чувам, но въпреки това, съм ви приготвил поредната порция “food for thought” така да се каже 🙂
Задача 4. Щедри дарения
Един щедър човек отделил известна сума пари, за да я разпределя по равно всяка седмица за нуждаещите се негови познати. Един ден той забелязал: “Ако следващата седмица има петима кандидати по-малко, всеки ще получи по два долара повече”. Но уви, вместо по-малко в действителност се явили четирима кандидати за дарение в повече.“Това означава”, отбелязъл човека, “че всеки ще получи един долар по-малко”.
По колко пари е получил всеки при последното разпределение?
Нека последният път са дошли x кандидати и всеки е получил по y долара. Тогава парите, които заделя човекът всяка седмица са x.y долара.
Можем да съставим следните уравнения на базата на това, което е забелязал:
(x-5).(y+2) = x.y
и
(x+4).(y-1) = x.y
Това е проста система от две уравнения с две неизвестни, която се свежда до следните две уравнения:
2.x – 5.y = 10
и
4.y – x = 4
Решението на системата е x = 20, y = 6, което означава, че всяка седмица човекът заделя по 120 долара и предпоследният път кандидатите са прибрали по 6 долара. При явяването на 4 кандидата повече всеки е получил долар по-малко или 5 долара точно.
За сега няма да гледам горния коментар и ето го моето решение (не е най-красивото, ама колкото толкова :)).
Та, обозначаваме с х общата сума, а с у броя на хората от предишната седмица.
В случая с 5 човека по-малко имаме:
x/(y-5) = x/y + 2
леко развиване и се получава:
5x = 2y(y-5) -> (1)
В случая с 4 човека получаваме:
x/(y+4) = x/y – 1
след развитие на уравнението се получава:
4x = y(y + 4) -> (2)
Като умножим съответно по 4 (ур.1) и по 5 (ур.2) и ги извадим, се получава:
8y(y-5) = 5y(y+4)
единият корен на уравнението е очеваден – y = 0, но и очевадно не ни върши работа.
Та, делим на y и се получава
8y – 40 = 5y + 20
3y = 60
y = 20
Хващаме (1) за ушите и:
5x = 2.20(20-5) = 40.15
x = 40.3 = $ 120
И проверката:
предишната седмица: x/y = 120/20 = $ 6
с 5 души по-малко: x/(y-5) = 120/15 = $ 8
с 4 души повече: x/(y+4) = 120/24 = $ 5
И отговорът на задачата е $ 5.
Поздрави и бира
Ему
Ей, ама сте бързи, че и различни обяснения на решението сте измислили, но за сметка на това пък вярни. Поздравления и за двама ви!
А ето го и “оригиналния” отговор, без много
обяснения в него:
Отговор:
Първоначално е имало двадесет души и всеки е получил по 6 долара. Петнадесет души (с пет по-малко) биха получили по 8 долара. Но се явили двадесет и четирима човека (с четири повече) и всеки получил само по 5 долара. По този начин сумата, разпределяна ежеседмично е била 120 долара.