В момента у дома са на мода задачите по геометрия за 7 клас. Тази ми се стори много сладурска, защото може да се решава наум и без чертеж и решението също може да се опише с думи. Затова: Айде на сутрешната сива физзарядка 😉
Върху страните АВ и ВС на триъгълник АВС са взети съответно точки M и N, така че BM=2AM и CN=2BN. Ако О е пресечна точка на AN и CM, да се докаже, че лицето на четириъгълника MBNO е равно на лицето на триъгълника АСО.
П.П. Няма нужда да качвате чертежи. Дайте решението само с думи.
2*sMNBO = sMBC + sANB – sAMO – sONC
2*sAOC = sAMC + sANC – sAMO – sONC
sAMC = 1/2 sBMC
sANC = 1/2 sABN
не ми изглеждат еднакви, по-скоро ми изглеждат в отношение 2 към 1 🙁
Означения:
S1 = лицето на АМО
S2 = лицето на CNO
S3 = лицето на ACO
S4 = лицето на MBNO
——
(1): 2*(S1 + S3) = S2 + S4
(2): 2*(S1 + S4) = S2 + S3
Изваждаме двете равенства:
(1)—(2) —> S3 = S4
——
🙂
Ако поне през ден решаваш задачи за седми клас по геометрия, сигурно може и без чертеж. На мен не ми се случва често. Признавам си направих си такъв, защото с думи не мога да без грешки да опиша доказателството. Ето моето решение:
1.От условието за съотношението на страните за лицата следва ,че:
SBMC = 2SAMC– при обща височина и съотношение на страните BM=2AM;
SACN = 2SABN – при обща височина и съотношение на страните CN=2BN;
2.SAMC+SBMC=SABN+SACN -тъй като сумите формират лицето на един и същ триъгълник;
3.Нека изразим лицата по следния начин:
SAOC=SAMC-SAMO;
SMBNO=SABN-SAMO;
Ако успеем да докажем ,че SAMC=SABN от там ще следва , е и SAOC= SMBNO
SAMC=SABN ?
Нека заместим в равенство 2 : SBMC с равното му 2SAMC (следва от 1т.)
SACN равното му 2SABN (следва също от 1т.)
Получава се:
SAMC+2SAMC =SABN+2SABN
=> 3SAMC = 3SABN
=> SAMC= SABN
В това докзваме,че така изразените в т.3 лица SAOC и SMBNO са еднакви.
dzver,
да ти кажа честно, малко се обърках в твоите обяснения. Може би защото гледам на това решение с очите на седмокласник.
Филип,
много прилично доказателство, благодаря 🙂 Само, ако е за 7класник, трябва малко да обосновеш равенствата. 😉
trol4e,
и аз си правя чертежи, то не може без, а и не бива. Идеята беше, че няма нужда да се мъчите с качването, защото всеки може да си го драсне сам и да следи решенията 🙂
Благодаря за решението.
Всъщност, аз съм я решила по различен от предложението начини, който ми се стори най-прост за обяснение на дете. Ще изчакам още малко и ако никой не сети, ще ви го напиша 🙂
Като за решение без чертеж, с две изречения: лицата на AMC и на ANB са равни на 1/3 от лицето на целия триъгълник ABC, съответно са равни помежду си.
А лицата на MBNO и АСО се получават, като от горните два триъгълника се махне парченцето AOM.
Супер си, 3.14f, такава беше и моята идея 🙂 и ми се струва най-простичка и ясничка 🙂
Приема се! Чудесно! Лицата на MBNO и АСО се получават, като от лицата на AMC и ANB се махне парченцето AOM-> това е и част моето решение(аз съм го описала като SAOC=SAMC-SAMO и SMBNO=SABN-SAMO). Само дето аз съм си по-обяснителна и излишно доказах, че AMC и ANB са с еднакви лица без да уточявам, че са 1/3 от общото лице. Начинът ти 3.14f наистина е доста кратичък. Според мен на практика идеята е същата.
Значи? Следваща задачка? Готови?
xaxa, ste vzema da svetna maika mi, che ima razni hora, koito reshavat zadachi za sedmi klas v neta, pa i tq da se vkluchi v diskusiqta (jenata e matematichka, bolna na tema zadachi)
Реших задачката по подобен начин на този на trol4e, но по-тромав… И ме е срам да си кажа колко време ми отне.
3.14f, страхотно решение – простичко и елегантно, много му се зарадвах! Поздравления!
LeeAnn, благодаря за хубавата задачка! За мен беше много полезно упражнение.
Калин, давай майка ти насам, само пиши на български, моля 🙂
Иван Ангелов: Аз съм приготвила още простички и полезни упражнения и щом ви харесват, с удоволствие продължавам с тях 🙂
Хей, това със задачките още ли е валидно, та да ви пратя една? 🙂
vladi57
Разбира се, прати ми я на мейла на блога (leeneeann@leeneeann.info), но ми прати и решението, за да си го знам 😉 Аз няма да бързам да го публикувам 🙂